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概要

平均化演算子は和分差分学で用いられます。 ここでは平均化演算子に関する式のうち、よく使うであろう式や、平均化演算子の作りを知るヒントとなる公式を載せています。

前進差分に対応する平均化演算子

名称公式
定義 M+xf(x)=f(x+h)+f(x)2
変形 M+xf(x)=f(x+h2±h2)h2hf(x)hx
高階演算 M+xnf(x)=(2h2hxhxh)nf(x)
逆高階演算 M+x-nf(x)=(hhx2hx2h)nf(x)
係数倍 M+x(kf(x))=kM+xf(x)
和と差 M+x(f(x)±g(x))=M+xf(x)±M+xg(x)
逆数 M+x1f(x)=-M+xf(x)(f(x))2-hhf(x)hxf(x)

後退差分に対応する平均化演算子

名称公式
定義 M-xf(x)=f(x)+f(x-h)2
変形 M-xf(x)=f(x-h2±h2)h2hf(x)hx
高階演算 M-xnf(x)=(2h2hxhxh)nf(x)
逆高階演算 M-x-nf(x)=(hhx2hx2h)nf(x)
係数倍 M-x(kf(x))=kM-xf(x)
和と差 M-x(f(x)±g(x))=M-xf(x)±M-xg(x)
逆数 M-x1f(x)=-M-xf(x)hhf(x)hxf(x)-(f(x))2

中心差分に対応する平均化演算子

名称公式
定義 Mxf(x)=f(x+h2)+f(x-h2)2
変形 Mxf(x)=f(x±h2)h2δhf(x)δhx
高階演算 Mxnf(x)=(δ2hδ2hxδhxδh)nf(x)
逆高階演算 Mx-nf(x)=(δhδhxδ2hxδ2h)nf(x)
係数倍 Mx(kf(x))=kMxf(x)
和と差 Mx(f(x)±g(x))=Mxf(x)±Mxg(x)
逆数 Mx1f(x)=-Mxf(x)(h2δhf(x)δhx)2-(Mxf(x))2